フィボナッチ数列 例。 【神秘】数学美 フィボナッチ数列

植物の美しさや論理性を作る数字|フィボナッチ数列

フィボナッチ数列 例

兎の問題 [ ] は次の問題を考案した。 1つがいの兎は、産まれて2か月後から毎月1つがいずつの兎を産む。 兎が死ぬことはない。 この条件の下で、産まれたばかりの1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか? つがいの数は次の表のようになる。 どの月のつがいの合計も、その前の2つの月での合計の和となり、フィボナッチ数が現れていることが分かる。 5未満なので、 F n の正確な整数値は以下の式で得られる。 自然数 p, q のを r とすると、 F p と F q の最大公約数は F r である。 これより以下を導くことができる。 m が n で割り切れるならば、 F m は F n で割り切れる。 連続する2数はであることより、隣り合うフィボナッチ数も互いに素である。 F m がとなるのは m が 3 の倍数となるときと一致する。 F m が 5 のとなるのは m が 5 の倍数となるときと一致する。 フィボナッチ数の累和や累積について以下の式が成り立つ。 フィボナッチ数のうちであるのはこれしかない Bugeaud, Mignotte, Siksek 2006。 (の数列 ) フィボナッチ数でであるのは , , , , , , 1597, 28657, … である(の数列 )。 また、これらはと呼ばれる。 フィボナッチ数でであるのは , , , (の数列 )のみであることは Vern Hoggatt によって予想されていたが、のちに Luo Ming によって証明された。 フィボナッチ数でであるのは , , , , , , , 2584, …(の数列 )。 フィボナッチ数はにはならない。 より一般に、フィボナッチ数はにもならず 、2つのフィボナッチ数の商も完全数にはならない。 任意の正の整数は、1つ以上の連続しない相異なるフィボナッチ数の和として一意に表すことができる()。 プログラミング言語での実装 [ ] 的処理の例としてよく紹介される。 以下は言語での例。 したがって通常は、で計算するためになどの手法を用いる。 さらに、 n が大きい場合には一般項の公式(上記例3)や行列表現 を利用して ()での計算を行う。 その他の話題 [ ] ヒマワリの種は螺旋状に並んでおり、螺旋の数を数えていくとフィボナッチ数が現れる• フィボナッチ数は界の現象に数多く出現する。 の数はフィボナッチ数であることが多い。 3枚:、、• 5枚:、、キンボウゲ、、ヒエンソウ• 8枚:、サンギナリア、• 13枚:、コーンマリゴールド• 21枚:、• 34枚:、• 55枚:• 89枚:ミケルマス・デイジー• 花弁の数が144に達することはない。 この数は、他の自然界に見られるフィボナッチ数の例でも限界になっていることが多い。 のやに現れるの数もフィボナッチ数であることが多い。 の螺旋の数はフィボナッチ数とされることもあるが、螺旋の数が多い場合、中心から離れると螺旋の隙間にも種ができてしまうため、途中から枝分かれしてフィボナッチ数にならないこともある。 の螺旋の数は時計回りは13、反時計回りは8になっている。 (植物の葉の付き方)はフィボナッチ数と関連している。 やなど、オスに父親がない家系を辿っていくとフィボナッチ数列が現れる(父母2匹、祖父母3匹、曽祖父母5匹、高祖父母8匹…)。 などので、という手法がよく使われている。 この式より、負の番号の項は次のようになる。 これらフィボナッチ数列の類似物を、項数 k に対応するラテン語またはギリシャ語に由来するを「フィボナッチ」と組み合わせた名称で呼ぶ。 第0~21項の値は次の通りである: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … トリボナッチ数列の一般項は次で表される。 初期値の変更 [ ] リュカ数 [ ] フィボナッチ数列の最初の2項を 2, 1 に置き換えた数列の項をという。 フィボナッチ数列やリュカ数の列を一般化したものがであり、1878年にが体系的な研究を行い、1913年に ()がその結果を整理、拡張した。 これらの研究が現代のフィボナッチ数の理論の基礎となった。 脚注 [ ] [] 注釈 [ ]• フィボナッチ数列を利用したこののメインページの画像は、案中の「ウィキペディアにようこそ!」欄の左側に掲載されていた。 なお、現在ウィキペディア日本語版ので利用されている、「」とは異なり、各テンプレートの集合で構成されているため、履歴にはない。 出典 [ ]• Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the so called Fibonacci Numbers". Math. Siwan, 20 1 : pp. 28—30, 1986. ISSN 0047-6269. Parmanand Singh, "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. " Historia Mathematica 12 3 , pp. 229—244, 1985. Cohn, On square Fibonacci numbers, J. London Math. Soc. 39 1964 , pp. 537—540. 7 5 : 476-481, , ,• Yann Bugeaud, Maurice Mignotte, Samir Siksek, Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. Fibonacci and Lucas perfect powers. Ann. of Math. 163 2006 , pp. 969—1018. Ming, Luo 1989 , , Fibonacci Quart. 27 2 : 98-108 ,• Luca, Florian 2000. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 49 2 : 313-318. Broughan, Kevin A. ; Lewis, Ryan H. Integers 11a: A7. Janitzio 2010. Annales Mathematicae at Informaticae 37: 107-124. 聖なる幾何学 スティーヴン・スキナー著 p. 63「植物成長の幾何学」より抜粋• (こんどうしげるの生命科学の明日はどっちだ!? より多くは、例えば などを見よ• of Math. 15 1913 , pp. 30—70, :. 参考文献 [ ]• Arakelian, Hrant 2014 ロシア語 , Mathematics and History of the Golden Section, Logos,• Dunlap, Richard A. 1997-12-17 , The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Pub. Inc. ダンラップ, R. 『黄金比とフィボナッチ数』・訳、日本評論社、2003年6月。 Koshy, Thomas 2017-12-04 , Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts, Volume 1 2nd ed. , Wiley,• Koshy, Thomas 2019-01-07 , Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts, Volume 2 2nd ed. , Wiley,• Sigler訳 1987-02-11 , The Book of Squares, Academic Press, - 『』の英訳。 Sigler, Laurence 2003-11-11 , Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer-Verlag, - 『』の英訳。 中村滋『数学セミナー「日本フィボナッチ協会の20年」』57巻、8号、日本評論社、2018年8月、48-53頁。 関連項目 [ ] ウィキメディア・コモンズには、 に関連するカテゴリがあります。

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フィボナッチ数列 例

フィボナッチ数列とは? まずは、フィボナッチ数列とは何かについて説明します。 数列で説明 フィボナッチ数列は、「2つ前の項と1つ前の項を足し合わせていくことでできる数列」のことです。 数列は「1,1」から始まり、 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… と続いていきます。 これを漸化式で表すと、 となります。 これがフィボナッチ数列です。 図形で表すと フィボナッチ数列は、図形で表すこともできます。 まず、1辺の長さが1の正方形を2つならべます。 横の長さは1、縦の長さは2ですね。 その横に、1辺の長さが2の正方形をおきます。 横の長さは3、縦の長さは2ですね。 このあとも1辺の長さが3の正方形、5の正方形、8の正方形…を並べていって、大きな長方形を作ります。 こうして作られていく長方形の縦・横の長さを並べると、フィボナッチ数列ができます。 フィボナッチ数列の特徴 では、フィボナッチ数列の特徴を説明していきます。 自然界におけるフィボナッチ数列 自然界においては、なぜかフィボナッチ数列がよく出現します。 有名なのはひまわりの種ですね。 ひまわりは花の中心に種が隙間なく並んでいますが、よく見ると右回りと左回りに、螺旋上に並んでいることがわかります。 この列は、ほとんどの場合「21, 34, 55」というフィボナッチ数列の中の数になるそうです。 また、先程の長方形を使った下の図形も、自然界によく出現します。 このうずまき、なんとなく見たことはありませんか? アンモナイトやオウムガイのうずまきは、このような形を描いています。 このように、自然界ではフィボナッチ数が多く出現します。 神秘的ですね。 黄金比 あなたは、「一番美しい長方形の縦横比」はなんだと思いますか? 美しいという感覚はもちろん人それぞれですが、古代から長方形の「黄金比」は、 とされてきました。 この長方形には1つ特別な性質があります。 黄金比を持つ長方形から、正方形を抜くと、残った長方形(上図のピンクの箇所)の縦横比は となります。 もとの長方形と同じ縦横比ですね。 つまり、黄金比を持つ長方形から正方形を抜くと、また黄金比を持つ長方形が現れるのです。 美しいと思う長方形を突き詰めたらこの性質がわかったのか、それともこの性質故に美しいと思うのかはわかりませんが、この黄金比は古代ギリシアやエジプトの建築などで用いられてきました。 さて、この黄金比とフィボナッチ数列には実は関係があります。 フィボナッチ数列は 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... でした。 23606より、黄金比は といえます。 ここでフィボナッチ数列の隣り合う数どうしの比を考えてみます。 2 : 3から始めると、 2 : 3 = 1 : 1. 666666 5 : 8 = 1 : 1. 6 8 : 13 = 1 : 1. 625 13 : 21 = 1 : 1. 61538 … となり、だんだん黄金比に近づいていくのがわかりますね。 このように、フィボナッチ数列は黄金比ともつながっているのです。 これは数3の収束を使えば証明することができます。 興味のある方はやってみてください! 隣同士の項は互いに素 フィボナッチ数列の隣同士の項は、必ず互いに素です。 「互いに素」とは、2つの整数が1以外の共通の約数を持たないことを指します。 これは背理法と数学的帰納法を用いて説明することができます。 まず、フィボナッチ数列を漸化式で定義しましょう。 (kは2以上の整数、pは整数) この仮定の元で起こる矛盾を見つければ、仮定が正しくない、つまりフィボナッチ数列の隣り合う2項は2以上の共通の約数を持つことはなく、互いに素であることがわかるのです。 これを繰り返していくと、A1, A2もpを約数として持つことになりますね。 よって矛盾が生じ、仮定が正しくないことがわかりました。 フィボナッチ数列を用いた問題 フィボナッチ数列は大学受験で出題されることも多々あります。 ここでは、特に出やすい「階段の昇り降りの問題」と「一般項の求め方」について説明します。 階段の昇り降り 【問題】 階段を1歩か2歩で上がるとき、9段の階段の上がり方は何通りあるか。 【解説】 この問題は、9段を一気に考えようとするとうまくいきません。 発想を逆転させて、「一歩前にどこにいるか」を考えるべきなのです。 例えば4段目にいる人のことを考えてみましょう。 いま、階段は1歩か2歩でしか上がらないので、 この人はこの一歩前には「2段目か3段目にいる」ことになりますね。 この「前の2つの数字を足す」という計算は、フィボナッチ数列とまったく同じです。 よって出て来る数字もフィボナッチ数列と似てきます。 【解説】 これはフィボナッチ数列を漸化式で表したバージョンですが、解き方は他の漸化式と同じです。 これがフィボナッチ数列の一般項です!.

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C言語によるフィボナッチ数列のプログラム

フィボナッチ数列 例

フィボナッチ数を極める フィボナッチ数を極める フィボナッチ数は、およそ800年前に刊行された、「算盤の書」(1202年)の中の有名な 「兎の問題」から生まれた。 この書は、通称 Fibonacci (filius Bonacci: ボナッチの子 を縮めたもの)といわれるイタリアの 数学者、ピサのレオナルドによるものである。 兎の問題 1つがいの兎は、1年の間に何つがいの兎になるか? 但し、1ヶ月経つと1つがいの兎は1つがいの兎を産み、産まれた兎は、2ヶ月目には 子供を産むものとする。 この兎の問題を図式化すると次のようになる。 2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,・・・ 従って、兎の問題の答は、377つがいとなる。 フィボナッチ数の定義 a 1=1、a 2=1、a n=a n-1+a n-2 (n=3,4,・・・)で定まる数列を フィボナッチ数列 1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,89 ,144 ,233 ,377 ,・・・ といい、数列の各項を、 フィボナッチ数という。 このページでは、フィボナッチ数の持つ面白い性質と応用を紹介していきたいと思う。 (次のホームページ のでは、フィボナッチ数の性質を、楽しく、具 体的に紹介しているので、大いに参考になります。 同様にして、次の性質2,3 も簡単に示すことができる。 (追記) 平成30年10月21日付けでHN「nya」さんより、(性質5)の別証明をいただいた。 (別証) まず次の等式を証明する。 さて、m=2k または m=2k+1 となるような整数kが存在する。 (コメント) nya さん、別証明、ありがとうございました。 性質5で、n=m のときを考えることにより、次の性質6,7 を得る。 (証終) 始めに「フィボナッチ数列ありき」でこのビネの公式を見ると、「a n が自然数」であることは 疑うよしもない。 しかし、始めに、このビネの公式で定まる数列が与えられるとき、各項は自 然数になると聞いて、「ホント?」と思う人は少なからず存在するだろう。 よって、n=1 のとき成り立つ。 このとき、 x 2=x+1 より、 x n=Mx+N (M、N は自然数)とおける。 (証終) (コメント) 当HPがいつもお世話になっているS(H)さんによれば、数学的帰納法によるも の以外に、漸化式を変形したり、母関数を使って証明することが可能であるとの ことである。 フィボナッチ数は、その定義から明らかなように、単調に増加する数である。 果たして、 フィボナッチ数は、どのような速さで増加するのであろうか?この問いに対して、次の定 理がその答となる。 定理 に最も近い整数は、フィボナッチ数 a nである。 証明は、性質 8 のビネの公式より明らかである。 この定理はまた、フィボナッチ数を求める新しい方法を我々に示唆している。 対数でフィボナッチ数を求める 対数表では、有効桁数があまりに小さいので、ここでは、関数電卓(CASIO fx-7200G を 用いて、求めてみよう。 例えば、n=14 のとき、 の常用対数を求めると、2.576341398 となるので、 その真数は、377.0000415である。 よって、この数に一番近い整数は、377となる。 (この数は、先の兎の問題の答の数と一致する。 ) 関数電卓もわずか10桁程度の有効数字にしか対応できないので、おのずと限界がある。 n の値が大きくなると、先頭の数桁程度しかその信頼度はない。 表計算ソフト Microsoft Excel を用いると、フィボナッチ数は、容易に求められる。 ) ただ、この方法にも限界があって、n=54のときの 86,267,571,272 が、正しく 求められる最大のフィボナッチ数である。 いろいろ工夫すれば、この記録はもっとのばせる と思う。 関数電卓(CASIO fx-7200G で求められる最大のフィボナッチ数はいくつであろうか? 計算の結果、それは、n=40 のときで、その値は、 102,334,155 であった。 性質5や性質7などを用いると、人力でもっと大きい n に対するフィボナッチ数が求めら れると思う。 2つのフィボナッチ数の最大公約数は、フィボナッチ数である 実際に、a 18=2584 と a 12=144 の最大公約数は、a 6=8である。 この性質9を、さらに詳しく言及したのが次の定理である。 定理 (a m,a n)=a (m,n) 但し、(X,Y)は、X と Y の最大公約数を表す。 この定理を証明するために、次の性質が用いられる。 (性質10) 隣り合うフィボナッチ数は、互いに素である 証明は容易である。 このことから、帰納的に、a 1=1 が d で割り切れることになり、矛盾。 定理を一般的に証明することは難しいので、専門書に委ねる。 ここでは、先ほどの例を 用いて、証明をなぞってみたい。 (性質A) (a,b)は(ac,b)の約数 証明は、明らかであろう。 (性質C) (ac,bc)=(a,b)c 証明は、明らかであろう。 (性質D) (b,c)=1 のとき、(ac,b)=(a,b) (証明) 性質Aより、(ac,b)は(ac,ab)の約数である。 性質Cより、(ac,ab)=(c,b)a=a なので、(ac,b)はaの約数となる。 (ac,b)はbの約数でもあるので、(ac,b)は(a,b)の約数である。 性質Aより、(a,b)は(ac,b)の約数なので、(ac,b)=(a,b)となる。 上の定理から、次の事実が成り立つ。 これも、フィボナッチ数の面白い特性であろう。 系 m が n で割り切れるとき、a m は a nで割り切れる この逆もまた成り立つ 証明は、定理から明らかであろう。 例 54は18で割り切れる。 この系により、性質6は、明らかに成り立つ。 (参考文献:ヴォロビェフ 著 筒井孝胤 訳 フィボナッチ数(東京図書)) フィボナッチ数列は、いろいろな問題に現れる。 例えば、次のような問題である。 n段の階段がある。 1段ずつでも2段ずつでも、また1段ずつと2段ずつをとりまぜ て登ってもよいとして、何通りの登り方があるか。 階段が1段のとき、登り方は、1通り 階段が2段のとき、登り方は、1段ずつと一気に2段の2通り 階段が3段のとき、登り方は、1段ずつ・1段と2段・2段と1段の3通り 階段が4段のとき、登り方は、1段ずつ・1段ずつで最後に2段・1段と2段と1段・最初に 2段で残り1段ずつ・2段が2回の5通り ・・・・・・・・・・・ このように実験してみると、登り方の数列は、1,2,3,5,・・・ となり、なんとなくフィボ ナッチ数が見えてくる。 建物の中の階段は、9、11、13段などが多い。 さて、フィボナッチ数列 1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,89 ,144 ,233 ,377 ,・・・ について、当HPの掲示板「出会いの泉」に、平成21年5月17日付けで、HN「tetsuya」 さんが次のような書き込みを残された。 フィボナッチ数列の1つおきの項 1 , 1 ,2 , 3 ,5 , 8 ,13 , 21 ,34 , 55 ,89 , 144 ,233 , 377 ,・・・ について、例えば、( 1 ,3 ,8 )や( 21 ,55 ,144 ) などについて、 相異なる2数を掛けて、1 を足す という操作をすると平方数になる。 (コメント) とても美しく面白い性質ですね。 tetsuya様に感謝します。 tetsuya様の書き込みによれば、一般に、「相異なる2数を掛けて、1 を足す」という操作 を施して平方数になる n 個の数の組は、 Diophantine n-tuple と言われるという。 上記の計算から、( 1 ,3 ,8 )や( 21 ,55 ,144 ) などは、Diophantine 3-tuple である。 フェルマーは、4つの数がすべて自然数という条件で、 ( 1 ,3 ,8 ,120 ) というDiophantine 4-tuple を見出した。 ところで、Baker と Davenportの結果(1969)によれば、 ( 1 ,3 ,8 ,d )が、Diophantine 4-tuple である自然数 d の値は、d=120 しかないようだ。 さらに、Euler は、 a 、 b 、 a+b+2r 、 4r(r+a)(r+b) ただし、 ab+1=r 2 という解を与えている。 ( 1 ,3 ,8 ,120 )は、 a=1、b=3、r=2 の場合である。 上記の計算で、フィボナッチ数から得られる Diophantine 3-tuple において、「相異な る2数を掛けて、1 を足す」という操作を施すと、フィボナッチ数の平方になるという現象に 遭遇したが、このことを整理すると、次の(性質12)が得られる。 上記では、数学的帰納法により証明したが、もちろん直接的に示す方法もある。 (性質8)で示したビネの公式を用いればよい。 さらに、次のような証明法があることを、zk43さんより、ご教示いただいた。 zk43さんは、さらに、行列で考えた方が、構造が分かりやすい感じがするとのこと。 (コメント) 計算がスッキリしました... ネ! zk43さんに感謝します。 数列 { a n } がフィボナッチ数列であるとき、(性質12)が成り立つわけであるが、逆に、 (性質12)がなりたつような数列 { an } はフィボナッチ数列であることを問う入試問題が あることを、当HPがいつもお世話になっているS(H)さんより伺った。 次の問いに答えよ。 (2) m を自然数とするとき、a 6m は8の倍数であることを示せ。 よって、n=k+1 のときも成り立つので、全ての自然数に対して、与式は成 り立つ。 (2) a 6=a 5+a 4=2a 4+a 3=2(a 3+a 2)+a 3=3a 3+2a 2=3・2+2・1=8 で、 (a 6m,a 6)=a (6m,6)=a 6=8 より、自然数 m に対して、 a 6m は8の倍数である。 (終) (コメント) (1)がこの問題の眼目で、(2)はサービス問題ですね! FNさんからのコメントです。 (平成23年11月19日付け) 上記の 2 の解答で、の下の定理を使っています。 2 は、「a mnはa nの倍数である。 具体的に調べるのがいいと思います。 a mを8で割った余りをb mとすると、m=1、2、・・・、12 のときのb mは次のようになる。 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b m 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0 m=13以降は、これを繰り返すから、mが6の倍数のとき、b m=0 よって、a 6mは8の倍数である。 同様にして、次のような関係も成り立ちます。 (コメント) FNさん、ありがとうござます。 FNさんからの続報です。 (平成23年11月23日付け) 上記を、次の形に一般化した場合の証明は難しいだろうと思っていたのですが、それほど でもありませんでした。 これを 証明するのにキーになるのは、次の性質です。 (証明) n を m で割ったときの商を q、余りを r とする。 フィボナッチ数の定義 a n=a n-1+a n-2 (n=2,3,・・・) を用いて容易に示すこと が出来る。 ただし、 a 0=0 、a 1=1 とする。 何か、パズルに使えそうですね! 当HPがいつもお世話になっているHN「攻略法」さんから新しい性質をご教示いただいた。 n=1 のとき、 a 3=a 1+a 2=1+1=2 、 a 2 2+a 1 2=1+1=2 よって、 a 3=a 2 2+a 1 2 なので、n=1のとき、命題は成り立つ。 n=2 のとき、 a 5=a 3+a 4=2+3=5 、 a 3 2+a 2 2=4+1=5 よって、 a 5=a 3 2+a 2 2 なので、n=2のとき、命題は成り立つ。 したがって、すべての自然数 n に対して、命題は成り立つ。 (証終) FNさんからのコメントです。 (コメント) 確かに並べると、関連性が浮き彫りになりますね!FNさんに感謝します。 (証終) 攻略法さんから新しい性質をご教示いただいた。 したがって、すべての自然数 n に対して成り立つ。 したがって、すべての自然数 n に対して成り立つ。 (証終) 攻略法さんから新しい性質をご教示いただいた。 (平成23年8月21日付け) 性質5などを用いると、人力でもっと大きいnに対するフィボナッチ数が求められる。 40を2で割って、商20、余り0となる。 <計算手順> a m を求める場合、m を2進法展開する。 a 0=0 、a 1=1 として、最上位から順に ビットが「1」なら、式1と式2 ビットが「0」なら、式3と式1 を計算していく。 当HP読者のK.S.さんより、フィボナッチ数列の新たな視点をご教示頂いた。 (平成23年10月9日付け) (性質22) フィボナッチ数列: 1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,89 ,144 ,233 ,377 ,・・・ において、 3番目ごとに、2の倍数 4番目ごとに、3の倍数 5番目ごとに、5の倍数 8番目ごとに、7の倍数 10番目ごとに、11の倍数 が現れる。 FNさんからのコメントです。 (平成23年11月15日付け) (性質22)について、ちょっとわかりにくい表現ですが、「3番目、6番目、9番目、・・・ は、2 の倍数である」等々の意味でしょう。 次の性質の系になります。 a mn は、a m の倍数である。 または、a mn は、a m および a n の倍数である これは、 性質6 の一般化です。 証明は、 性質5 を使って数学的帰納法でできます。 これ はまた、 性質9 の下の定理の系の前半部分でもあります。 当HP読者のK.S.さんより、フィボナッチ数列の新たな視点をご教示頂いた。 (平成23年11月11日付け) (性質23) 全ての自然数は、異なるいくつかのフィボナッチ数の和として表すことが できる。 一見すると「本当?」と思いたくなるような事実に対しても、数学的帰納法は強力な武器と なる。 (証明) n=1 のときは、明らか。 n=2 のとき、 2=1+1 なので、 n=2 のときも成り立つ。 n=3 のとき、 3=2+1 なので、 n=3 のときも成り立つ。 n=4 のとき、 4=3+1=2+1+1 なので、 n=4 のときも成り立つ。 今、任意の自然数を N とし、N未満の自然数については、異なるいくつかのフィボナッチ 数の和として表すことができるものと仮定する。 ここで、Nを超えない最大のフィボナッチ数 を a n とおく。 すなわち、Nは、異なるいくつかのフィボナッチ数の和として表せる。 以上から、 全ての自然数は、異なるいくつかのフィボナッチ数の和として表すことができる。 (証終) 攻略法さんが(性質23)に注目され、1から100までのうち個数が最多と最少のものを調査 されました。 (平成23年11月14日付け) 「連続するフィボナッチ数の和」も多々あるとのことです。 (平成23年11月16日付け) 個数が最少のものについての考察です。 (考察1) ・1個目 Nを超えない最大のフィボナッチ数(n番目)を、a n とする。 すなわち、隣り合うフィボナッチ数を使わない ことがわかる。 n がある程度以上のとき、これより少なくなる。 重複することなく自然数が生成されて、その数の個数はフィボナッチ数となる。 (平成23年11月15日付け) (性質23)について、「フィボナッチ数とはフィボナッチ数列にあらわれる数」だから、「1」 はフィボナッチ数で、すべての自然数が「1」の何個かの和で表されるのは当たり前である。 だから、「異なる」を書いておくべきでしょう。 ) また、「いくつかの」ではあまり面白くないので、「いくつかの」がどの程度に押さえられるか を考えるのが面白そうに思います。 n がある程度以上のとき、「いくつかの」は、「[log 2 n ]-1個以下の」ぐらいにできそうな気 がします。 ただし、log 2 n は、2を底とする対数、[x]は、x を越えない最大の整数。 当HP読者で岩手県在住のK.Y.さんから、(性質24)を直接、数学的帰納法で証明され たとのことで、その証明をメールにていただきました。 nC k= n-1C k+ n-1C k-1 ただし、 nC 0= nC n=1 F n=F n-1+F n-2 ただし、F 0=F 1=1 このとき、フィボナッチ数列の一般項 F n は、2項係数 nC k を用いて次のように表される。 (証明) n=0 のとき、 左辺=F 0=1 で、右辺= 0C 0=1 より、 左辺=右辺 n=1 のとき、左辺=F 1=1 で、右辺= 1C 1=1 より、 左辺=右辺 以上から、命題は、n=0、1のときに成り立つ。 (ロ) r が偶数のとき、 r=2m (mは自然数) と表される。 (証終) (コメント) 久々にフィボナッチ数列に触れる機会をいただいたK.Y.さんに感謝します。 攻略法さんが(性質24)について考察されました。 (平成23年11月14日付け) (性質24)の組合せ論的解釈を得るために、次の問題を考える。 上記の証明から、数列{a n}は、フィボナッチ数列となる。 この組合せ論的解釈を攻略法さんが詳細に調べられました。 感謝いたします。 なお、一部文言等を修正させていただきました。 ご了承ください。 同趣旨のことをK.S.さんからもメールで頂きました。 K.S.さん に感謝いたします。 K.S.さんからの続報です。 (平成23年11月11日付け) N試合で連敗しないような試合のあり方は、階段で踏まなかったところが負けた意味となり、 連続して踏まないことはないので、同じ数になる。 、次の性質も成り立つ。 (性質25) これは、ビネの公式から明らかだろう。 (コメント) フィボナッチ数列の種々の視座を与えていただいて、K.S.さんに感謝します。 攻略法さんが、いろいろな問題に現れるフィボナッチ数列について考察されました。 例2 2倍取りゲーム 1つの山にいくつかの石がある。 次のルールで、2人が交互に石を取っていき、最後の石 を取った方が勝ちというゲームをする。 ・先手は第1手では1個以上何個取ってもよい。 ただし、山全部の石を取ってはいけない。 ・先手の第1手以外では、1個以上直前の相手の取った石の個数の2倍以下の石を取って よい。 たとえば、最初に20個の石があったなら、先手の第1手では1個から19個まで取れる。 仮 に3個取ったとすると、後手は1個から6個まで取れる。 このゲームの必勝法を考えよ。 (解) 最初の石の数がフィボナッチ数でない限り先手必勝となる。 実際に、 a この条件でのフィボナッチ数への分解は一意である。 b 分解した数の比は2倍よりも大きい。 よって、和の中のフィボナッチ数の個数を減らせない。 (終) 例 石の個数が3個のとき、先手の第1手は、1個または2個取れる。 先手の取った石が1個のとき、残りは2個。 先手の取った石が1個のとき、残りは3個。 何れにしても次の先手が残り全部の石を取れるので、 先手の勝利! 先手の取った石が2個のとき、残りは2個。 この戦略は次の事実に基づいている。 4=3+1 と、より大きなフィボナッチ数に分解するとき最小のフィボナッチ数は1 例 石の個数が6個のとき、6=5+1 なので、先手が第1手で石を1個取れば必勝であ る。 実際に、残りは5個で、後手が取れる石の個数は2個以下。 後手の取る石が1個のとき、残りは4個で、 4=3+1 より、先手が1個取って、先手の勝利。 後手の取る石が2個のとき、残りは3個で、 先手が3個全部取って、先手の勝利。 例 石の個数が7個のとき、7=5+2 なので、先手が第1手で石を2個取れば必勝であ る。 実際に、残りは5個で、後手が取れる石の個数は4個以下。 後手の取る石が1個のとき、残りは4個で、 4=3+1 より、先手が1個取って、先手の勝利。 後手の取る石が2個のとき、残りは3個で、先手が3個全部取って、先手の勝利。 後手の取る石が3個のとき、残りは2個で、先手が2個全部取って、先手の勝利。 後手の取る石が4個のとき、残りは1個で、先手が1個全部取って、先手の勝利。 攻略法さんからの続報です。 (平成23年11月18日付け) 例3 x n を x 2-x-1 で割ったとき、商や余りの係数にフィボナッチ数が現れる。 例4 数理マジック「17番目の不思議」 ・・・ 任意の3桁の数の各桁の和を計算する。 桁上りはしない。 以上の議論は簡単だが、結果の精度は悪い。 )実際、整数論的な考察をすると、さらに強い結果が得られる。 (ただしこれらが最短周期かどうかは分からない。 素数のべきについては次が成り立つ。 ) (追記) 平成25年12月14日付け 「フィボナッチでの新たな驚き」と題して、当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さん からの投稿です。 フィボナッチ数列には、いろいろな性質があることは、上記でも数多く紹介されているとは 思いますが、次のことを計算していて気づいたことがありました。 (コメント) 母関数って、不思議ですね!大変美しい性質だと思います。 GAI さんに感謝し ます。 カルピスさんからのコメントです。 (平成25年12月15日付け) 私も、数日前に知ったことですが、フィボナッチ数列は、隣同士が、どんどん黄金比に近 づいていくことを初めて知って感動しました。 B の式も順を追って検証して頂ければ納得して頂けると思います。 (コメント) Fiboさん、投稿ありがとうございます。 堪能させていただきました。 (追記) 平成27年3月1日付け 平成27年度入試 東京大学 前期理系 で次のような問題が出題された。 数学的帰納法 の適当な練習となろう。 問題 数列{p n}を次のように定める。 (3) 数列{q n}を次のように定める。 n=1のとき、左辺=p 1=1、右辺=q 1=1 より、左辺=右辺で、n=1のとき成り立つ。 n=2のとき、左辺=p 2=2、右辺=q 3=q 1+q 2=2 より、左辺=右辺で、n=2のとき 成り立つ。 したがって、すべての自然数nに対して、命題は成り立つ。 (終) (コメント) 標準的な数学的帰納法の問題でした。 合格のためには落とせない問題ですね。 とるえんさんからのコメントです。 (平成28年6月13日付け) n番目のフィボナッチ数を F n と表すことにします。 F n 2 がF n 2で割り切れるようなF n は無数に存在するのでしょうか? 自分で見つけられたのは、n=1、2、5のときだけでした。 もっとも、プログラムの関係で n=22までしか調べられていないのですが・・・。 どなたかご教示ください。 Seiichi Manyamaさんからのコメントです。 (平成28年6月14日付け) F n k が F n k で割り切れるような例をによるプログラムで見つけました。 ちなみに 調べる範囲を狭めているので実行時間は1分くらいでしょう。 (実行結果) k=2、3、4、5、6、7、8、9、10 について、n=1、2、5 のみ そこで、すこし強引ですが、次の予想をしてみました。 (予想) k を2以上の整数とする。 F n k が F n k で割り切れるとき、n=1、2、5 に限る。 n=1、2 は自明ですね。 Seiichi Manyamaさんからのコメントです。 at さんからのコメントです。 Seiichi Manyamaさんからのコメントです。 素晴らしいです! とるえんさんからのコメントです。 (平成28年6月21日付け) 皆様ご回答ありがとうございます。 興味深い性質ですが、このことの証明は易しくないようですね・・・。 フィボナッチ数の神秘を また一つ垣間見た気分です。 空舟さんからのコメントです。 (平成28年6月25日付け) いくつかの性質を既知とすると見通し良いと思います [結論] F[n]が2または5以外の奇素数で割り切れる時、F[n k]はF[n] kで割り切れ得ない。 ) 断らない変数は(文脈に応じて正の)整数とする。 [場合1] F[n]が2で割り切れる場合 Xが2で割り切れる回数を v X とおく。 [場合2] F[n]が奇素数pで割り切れる場合 Xがpで割り切れる回数をv X とおく。 因みに、この設定でのv F[m] は大抵の素数pに対して1となりますが、1にならないようなp が存在するかどうかは未解決のようです。 GAI さんからのコメントです。 (平成29年5月3日付け) 一連のフィボナッチ数列に関する話題の中に、逆数や積のことが入ってなかったので、そ れに関することで、次のことが成り立つことを読んだのでメモしておきます。 2267420107・・・ なる定数とする。 フィボナッチ数列には黄金比が深く関わっていることが見てとれます。 (付記) 当ページは、NICER(教育情報ナショナルセンター(国立教育政策研究所))に、 平成16年10月22日付けで登録されました。 当HPは、NICERの趣旨に賛同し、 参画しております。 (追記) 国の事業仕分けにより、「教育情報ナショナルセンター」は平成23年4月以降運 用終了とされ、 に移管された模 様です。 検索機能が追加され、使い勝手は向上したかもしれません。 その中に、「」が登録されているのを確認しました。 登録番 号は「719」です。 (平成23年5月29日付け).

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